RecMin: Interporlación por inverso de la distancia ponderada anisotrópica

Método de Inverso de la Distancia

La interpolación por inverso de la distancia (IDW – Inverse Distance Weighting) es uno de los métodos más comunes de estimación. Con éste método, el valor asignado a la estimación es un promedio ponderado de todos los puntos de datos dentro del elipsoide (3D) o elipse (2D) de búsqueda distribuidos direccionalmente. El valor de cada uno de los datos se pondera de acuerdo con el inverso de su distancia al punto o nodo de interpolación.

Comparado con otros métodos, especialmente con el kriging, el método IDW es más simple de programar y no requiere de pre-modelado o supuestos subjetivos al seleccionar un modelo de semivariograma. Además, el método IDW es aplicable a conjuntos de datos de tamaño pequeño para los cuales los modelos de semivariogramas son muy difíciles de ajustar, y es lo suficientemente flexible como para modelar las variables con una tendencia o anisotropía presente.

Figura 1: Método de inverso de la distancia ponderada. Imágenes tomadas de https://gisgeography.com/inverse-distance-weighting-idw-interpolation/

 

Método de Inverso de la Distancia Ponderada Anisotrópica

La interpolación por inverso de la distancia ponderada anisotrópica (IDWA  – Inverse distance weighted anisotropic) es una variante del método de interpolación por inverso de la distancia  que estima los valores del nodo (por ejemplo, grado de mineral) al promediar los valores de los puntos de datos de muestra en la vecindad de cada nodo de procesamiento y afectando esa distancia por un factor de anisotropía, esto implica que en el método IDWA el usuario haya determinado la anisotropía (relación de anisotropía de los ejes principales y los ángulos de anisotropía). IDWA tiene una suposición crucial de que la superficie de interpolación está influenciada principalmente por los puntos cercanos y menos por los puntos más distantes. La interpolación es un promedio ponderado de los puntos de dispersión (puntos conocidos) y el peso asignado a cada punto de dispersión disminuye a medida que aumenta la distancia desde el punto interpolado hasta el punto de dispersión. La principal ventaja de IDWA es que produce una cuadrícula suave y continua y no exagera las extrapolaciones más allá de los puntos de datos dados, pero requiere el esfuerzo adicional de tener un pre-modelado de la anisotropía.

La metodología tradicional de inverso de la distancia IDW asumen que los datos se ponderan de la misma manera en todas las direcciones; sólo afectado por el factor de distancia (1/da), pero en la variante del  IDWA se calculará una distancia ajustada basada en las relaciones de anisotropía.

Figura 2: Método de inverso de la distancia ponderada anisotrópica

Módulo de Interpolación en RecMin Free

Figura 3: RMYac para la interpolación por inverso de la distancia

La interpolación en RecMin se basa en el método del inverso de la distancia ponderada anisotrópica  (IDWA – inverse distance weigthing anisotropic) elevado a la potencia “alfa”  se accede a través del Módulo RMYac/Bloques/Cálculo con bloques… Cabe destacar, que ésta variación del método de interpolación también se encuentra presente en otros software geológicos; por ejemplo, en MineSight: M620-series programs assume that data is weighted the same in all directions unless anisotropic search distances are entered using the CMD=SEARCH line. In this case, the program will compute an adjusted distance based on the anisotropy ratios in horizontal and vertical directions.

La interpolación por inverso de la distancia tradicional se basa en asignar mayor peso dentro del ponderador a las muestras más cercanas y menor peso a las muestras más alejadas. La potencia “alfa” es un número que se eleva el inverso de la distancia y normalmente alfa = 2.

Ecuación 1

Donde:

Ley: Es la ley de la muestra que se encuentra dentro del elipsoide de búsqueda.

d: Es la distancia real entre la muestra y el bloque.

alfa: Es la potencia del inverso de la distancia; normalmente es 2.

 

Factores en los ejes

Los Factores en RecMin no solamente se utilizan para definir el elipsoide de búsqueda; sino también se emplean como ponderador en el inverso de la distancia.

Figura 4: Definición de los Factores

 

Figura 5: Elipsoide

La ecuación general de un elipsoide con centro en el origen de coordenadas y ejes coincidentes con los cartesianos es:

Donde a, b y c son las longitudes de los semiejes del elipsoide respecto a los ejes x, y, z; cabe destacar que a, b y c son números reales positivos y determinan la forma del elipsoide.

Efecto de los Factores en RecMin para el caso de la búsqueda 3D de muestras:

a =  (1/ Factor en el eje primario) * distancia máxima de influencia

b =  (1/ Factor en el eje secundario) * distancia máxima de influencia

c =  (1/ Factor en el eje terciario) * distancia máxima de influencia

Para el caso de una distancia máxima de influencia de 250 m y los Factores definidos en la Figura 4, la distancia de búsqueda del elipsoide para la interpolación es:

Eje primario: 250 m = 1/1 * 250 m

Eje secundario: 200 m = 1/1.25 * 250 m

Eje terciario : 30 m = 1/8.3 * 250 m

 

Efecto de los Factores en RecMin para la ponderación en el inverso de la distancia:

La fórmula configurada del inverso de la distancia que usa RecMin se basa en utilizar como ponderador adicional los factores anisotrópicos.

Donde:

Ley: Es la ley de la muestra que se encuentra dentro del elipsoide de búsqueda.

f: Es el factor que se aplica basado en un elipsoide de factores.

d: Es la distancia real entre la muestra y el bloque.

alfa: Es la potencia del inverso de la distancia; normalmente es 2.

Los factores (f) se calculan en base a un elipsoide donde las longitudes delos semiejes se determinan de la siguiente manera para calcular la Distancia con Coeficiente:

fa =  (1/ Factor en el eje primario)

fb =  (1/ Factor en el eje secundario)

fc =  (1/ Factor en el eje terciario)

Por ejemplo, si al interpolar un bloque dentro del elipsoide de búsqueda, la muestra se encuentra con respecto al bloque en la dirección del eje primario, el factor f que aplica como ponderador a la distancia de esa muestra es fa=1 (basado en los factores indicados en la Figura 4); entonces la distancia con coeficiente de esa muestra sería 1 d, donde d es la distancia real de la muestra al bloque… Si la muestra que se encuentra con respecto al bloque en la dirección del eje terciario, el factor sería fc = 8.3 y la distancia con coeficiente sería 8.3 d. En general, el cálculo de factor f que se utilizará en la distancia con coeficiente (f d) se obtiene en base al elipsoide tomando el vector que tiene como origen el bloque y destino la muestra y el factor es la magnitud de ese vector.

Figura 6: Cálculo de cobre manual por inverso de la distancia (IDW). La distancia con coeficiente es la distancia anisotrópica en RecMin.

Comparación del interpolador de inverso de la distancia versus el método de RecMin

Con el fin de hacer una comparación entre la interpolación tradicional IDW (Ecuación 1) con respecto a la interpolación por inverso de la distancia anisotrópica IDWA de RecMin IDWA (Ecuación 3); se empleó el software SGeMS versión 3 que se ejecuta en Windows 64 bits (Figura 7) que tiene incluida la rutina de interpolación por inverso de la distancia IDW; se utilizaron los mismos parámetros de interpolación (elipsoide de búsqueda, potencia del inverso de la distancia, número de muestras) para hacer la comparación de los resultados de IDW vs IDWA.

Figura 7: SGeMS versión 3 que se ejecuta en Windows 64 bits

Los histogramas y estadísticas descriptivas de las estimaciones por IDWA de RecMin vs IDW de SGeMS se resumen en las Figuras 8 y 9; la Figura 10 muestra los histogramas y frecuencia relativa acumulada juntos para una mejor comparación.

Figura 8: Estadística descriptiva e histograma de la estimación IDWA de cobre en RecMin.

 

Figura 9: Estadística descriptiva e histograma de la estimación IDW de cobre en SGeMS 64 bits.

 

Figura 10: Histogramas de la estimación de cobre IDWA RecMin Vs IDW SGeMS.

La Figura 11 muestra  la nube de correlación entre las estimaciones IDW de SGeMs vs IDWA de RecMin.

Figura 11: Correlación de la estimación de cobre RecMin IDWA vs SGeMS IDW.

El gráfico de tendencia (swath plot) de las estimaciones de cobre por IDW e IDWA son prácticamente las mismas. La Figura 12 compara el gráfico de tendencia de las estimaciones IDW, IDWA con respecto al valor del bloque de aquellos bloques que son interceptados por sondeos. La Figura 13 es una sección vertical Este-Oeste del modelo de bloques con las estimaciones de IDWA de RecMin vs IDW de SGeMS.

Figura 12: Gráfico de tendencia donde se compara el estimador RecMin, SGeMS con respecto al valor del vecino más cercano.

 

 

Conclusiones

  • La fórmula del inverso de la distancia en RecMin utiliza los factores como ponderador adicional a la distancia, la cual lo denomina Distancia con Coeficiente; esto corresponde a la técnica de interpolación por inverso de la distancia anisotrópica (IDWA).
  • El valor del factor se obtiene a través de un elipsoide y es el resultado de la magnitud del vector formado desde el centro del bloque a la muestra. Ese factor multiplica a la distancia real y se conoce en RecMin como Distancia con Coeficiente o Distancia Anisotrópica.
  • Hay variaciones locales en el estimador IDW vs IDWA pero el promedio de las estimaciones son prácticamente los mismo.
  • Usando el método interpolación por inverso de la distancia anisotrópica (IDWA), el programa buscará el punto de control más cercano en cada sector alrededor del nodo o punto de estimación.
  • Si la anisotropía se define de la manera correcta, el método de inverso de la distancia ponderada anisotrópica (IDWA) arrojará una mejor estimación en cada nodo que el método inverso de la distancia ponderada (IDW).

 

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